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Au lieu d`actions sur les ensembles, on peut définir des actions des groupes et des monoïdes sur les objets d`une catégorie arbitraire: commencez avec un objet X de certaines catégories, puis définissez une action sur X comme un homomorphisme monoïde dans le monoïde des endomorphismes de X. Dans les situations géométriques, on peut l`appeler l`espace orbital, tandis que dans les situations algébriques on peut appeler l`espace des coinvariants, et écrit XG, en contraste avec les invariants (points fixes), notée XG: les coinvariants sont un quotient alors que les invariants sont un Sous-ensemble. Preuve: par définition, h la GY si et seulement si h ⋅ (g ⋅ x) = g ⋅ x. Les déclarations ci-dessus concernant les isomorphismes pour les actions régulières, libres et transitives ne sont plus valides pour les actions de groupe continues. Les diagonales principales? Les morphismes des G-sets sont aussi appelés cartes equivariantes ou G-Maps. Par exemple, le groupe agit sur les nombres réels par multiplication par. Notez que, qui correspond à. Le sous-ensemble Y est appelé fixe sous G si g ⋅ y = y pour tous les g en G et tous y en Y. Dans une représentation de groupe, un groupe agit par des transformations linéaires inversibles d`un espace vectoriel. Car, l`orbite de est, et le sous-groupe isotropie est trivial,. Pour une action gauche h agit en premier et est suivie par g, tandis que pour une action droite g agit en premier et est suivie par h. Vous demandez, dans un commentaire, une action non évidente sur $X = {1, 2, 3, 4 } $. Le noyau N de l`homomorphisme avec le groupe symétrique, G → SYM (X), est donné par l`intersection des stabilisateurs GX pour tous x en X.

Une action d`un groupe G sur un espace local compact X est cocompacte s`il existe un sous-ensemble compact A de X tel que GA = X. historiquement, la première action de groupe étudiée a été l`action du groupe Galois sur les racines d`un polynôme. Il s`agit d`un sous-groupe de G, bien qu`il ne soit généralement pas normal. Beaucoup d`objets en mathématiques ont des actions de groupe naturelles définies sur eux. L`action de G sur X est libre si et seulement si tous les stabilisants sont triviaux. On considère souvent des actions de groupe continues: le groupe G est un groupe topologique, X est un espace topologique, et la carte G × X → X est continue par rapport à la topologie du produit G × X. Quels éléments de groupe laissent deux sommets fixes? Que faire si nous considérons l`action sur les bords du cube au lieu de sommets? Comment le même groupe agit-il sur les sous-espaces de la dimension 2? L`identité ne fait rien, alors qu`une composition d`actions correspond à l`action de la composition. Si vous changez les numéros $5 $ et $6 $ et chercher des exemples, vous aurez beaucoup de plaisir. Ce résultat est particulièrement utile puisqu`il peut être employé pour compter des arguments (typiquement dans les situations où X {displaystyle X} est fini aussi bien). Dans une action de groupe, un groupe permute les éléments de. Par exemple, comme illustré ci-dessus, le groupe symétrique agit sur les chiffres 0 à 9 par permutations. Permettez-moi de vous donner, au lieu de cela, une action non-trivial de $S _5 $ sur $X = {1, 2, 3, 4, 5,6 } $: il est donné par un homomorphisme $ Phi: S_5to S_6 $ tel que begin{align} (1,2) & longmapsto (1,2) (3,4) (5,6) (1, 2, 3, 4, 5) & longmapsto (1, 2, 3, 4, 5) end{align} vous devez vérifier que cet homomorphisme est injective.

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